Вся математика за 1–5 класс просто и доходчиво. Книга со ссылками на видеоролики, Игорь Казаринов
Книги
Игорь Казаринов

Вся математика за 1–5 класс просто и доходчиво. Книга со ссылками на видеоролики

Читать
.
.цитирует8 месяцев назад
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК — это самое маленькое число, которое ДЕЛИТСЯ на оба заданных числа. Это бывает нужно, например, для нахождения общего знаменателя при сложении и вычитании дробей) — используется немного другая процедура:

1) Возьмём те же два числа: 72 и 630. Надо найти их наименьшее общее кратное. Эти числа надо разложить на простые множители. (Это было сделано в главе Разложение на простые множители).

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3,

630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7

2) если мы просто перемножим эти два числа, то получим их кратное: 72 × 630 = 45360. Кратных может быть очень много! Можно умножать 45360 на любое другое число и результат будет делиться и на 72, и на 630. Таких чисел будет бесконечно много.

3) Потому для уменьшения расчётов ищут НАИМЕНЬШЕЕ общее кратное. Для этого выписывают все множители одного из чисел (обычно самого большого — у него множителей часто больше), а потом дописывают те множители другого числа, которые не вошли в этот список. То есть: возьмём все множители 630 — 2, 3, 3, 5, 7. У числа 72 остались не вошедшими множители 2 и 2, а 2, 3, 3 уже есть в списке. Значит, мы дописываем 2 и 2 к списку и получаем полный набор множителей 2,2,2,3,3,5,7.

4) Теперь надо перемножить все множители между собой и мы получим НАИМЕНЬШЕЕ общее кратное чисел 72 и 630. Это будет :

2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2520

Видно, что оно намного меньше 45360 — кратного, которое мы получили простым перемножением чисел 72 и 630.

Надо потренироваться до уверенности в этих вычислениях. Это пригодится в учёбе и на экзаменах
.
.цитирует8 месяцев назад
У нас есть два числа. Например: 72 и 630. Надо найти их наибольший делитель. Эти числа надо разложить на простые множители. (Это было сделано в предыдущей главе).

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3,

630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7

2) сравниваем множители, из которых состоят первое и второе число, выбираем такие множители, какие встречаются в обоих числах. Мы видим, что в оба разложения содержат 2 и 3, а значит они оба делятся на 2 и на 3. Итак, 2 и 3 — это делители этих чисел.

3) Так как мы ищем НАИБОЛЬШИЙ делитель, то нам надо найти все ОДИНАКОВЫЕ делители, в том числе повторяющиеся. Одинаковыми делителями в нашем случае будут 2, 3, 3. (Хотя 2 встречается в 72 три раза, мы берём её один раз, так как 2 только один раз входит в число 630.) Тогда НАИБОЛЬШИМ общим делителем будет произведение всех общих делителей:

2 × 3 × 3 = 18.
.
.цитирует8 месяцев назад
Для того, чтобы разложить число на множители, его записывают и справа от него проводят вертикальную черту. Если число чётное, то мы сразу записываем справа от черты 2. 2 — единственное чётное простое число, так как все остальные чётные числа точно делятся на 2 и потому не будут простыми.
.
.цитирует8 месяцев назад
«Простыми» называются в математике числа, которые делятся на себя и на единицу. Это 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37…
.
.цитирует8 месяцев назад
Когда смысл задачи понят — надо перевести её на язык математики. Раньше решали задачи по действиям — это как раз развивает способность представить последовательность, порядок действий. Что сначала, что потом. Для составления уравнения надо что-то взять за неизвестное — за Х. И потом составить правильные математические выражения с этим неизвестным.
.
.цитирует8 месяцев назад
Для всех верных равенств можно переносить числа из правой части равенства в левую, при этом, чтобы равенство сохранялось, мы у тех чисел, которые переносим, должны поменять знак на противоположный. Например:

3 +5 = 15 — 7

То есть: 8 = 8

Перенесём 5 в правую часть равенства, а 7 — в левую. При этом мы должны поменять у них знак на противоположный. У 5 был знак +, теперь станет –. У 7 был знак –, станет +.

3 +7 = 15 — 5

Мы получим: 10 = 10

Равенство сохранилось, хотя теперь у нас результат вычислений другой. Если мы не будем менять знаки для переносимых чисел — равенство не будет сохраняться.
.
.цитирует8 месяцев назад
И теперь — самая коварная задача на проценты. (Но такие задачи не дают на экзаменах — они слишком сложные!): На складе было 100 кг огурцов 98% влажности. За время хранения они усохли до 97% влажности. Сколько огурцов осталось?

Попробуйте решить её сначала сами. Кажется, что должно остаться довольно много — 95—97 кг. Но на самом деле это не так. Проценты бывают обманчивы!

Решение: Конечно, за 100% мы берём 100кг.

Тогда 1% — это 1 кг. Это просто.

И 98% воды — это 98 кг. Точно!

А что же дальше? Как теперь 98 кг связать с 97% влажностью усохших огурцов? Сколько там будет 100%? Неизвестно! Ведь воды стало меньше и её теперь не 98 кг!

Что же НЕ изменилось? На что же мы можем опираться в задаче? Не изменился «сухой остаток» огурцов. А это было вначале 2%, или 2 кг. Эти 2 кг не усохли и теперь именно они стали «сухим остатков» усохших огурцов. И это составляет теперь 3% (вместе с 97% воды будет как раз 100%)!

Итак, 2 кг «сухого остатка» стало 3%,

Тогда 1% будет 3: 2 = 0,67 кг (примерно)

Значит 100% будет 1% × 100 = 0.67 × 100 = 67 кг!
.
.цитирует9 месяцев назад
Второй способ решения: через составление пропорции

вся исходная сумма 1200 р. — это 100%

через год будет неизвестная сумма Х,

которая в процентах будет равна

100% (начальных) +8% (начисленных) = 108% (через год)

Значит Х р. — это 108%

получается пропорция 1200 р: 100% = Х р: 108%
.
.цитирует10 месяцев назад
В различных задачах на проценты самое главное — понять: что же надо взять за 100%? Это обычно что-то, что является целым или главным — все деньги на какой-то момент, всё количество чего-то (все конфеты, всё молоко, весь тортик). В сложных задачах часто в первой части задачи за 100% берётся что-то одно, а потом во второй части задачи за 100% надо принимать уже что-то другое.
.
.цитирует10 месяцев назад
Слово «процент» — латинское, означает «делить на сто»
.
.цитирует10 месяцев назад
В пропорции 2: 5 = 4: 10 числа 2 и 10 называются КРАЙНИМИ членами пропорции, а 5 и 4 — средними членами пропорции, потому что 2 и 10 находятся на краях слева и справа в этой записи, а 5 и 4 — в середине записи. Для любой ВЕРНОЙ пропорции будет выполняться равенство

2 × 10 = 4 × 5

То есть: 20 = 20 — верно

Или словами: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
.
.цитирует10 месяцев назад
«Пропорцией» называют равенство двух отношений. «Отношением» в математике называют просто действие деления. То есть «2 делить на 5», также называется «отношение двух к пяти». 2: 5 — это отношение. Тогда пропорция будет 2: 5 = 4: 10, или 5: 15 = 1: 100
.
.цитирует10 месяцев назад
При делении дробей можно, конечно, разделить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Но это не всегда получается — если мы в предыдущем примере попробуем разделить 2 на 3 и 5 на 7, то вряд ли получится что-то удобное. Потому делают так: вторую дробь переворачивают, и первую дробь умножают на ПЕРЕВЁРНУТУЮ вторую дробь.
.
.цитирует10 месяцев назад
Если мы разделим каждую одну четвёртую на три части, а одну третью на четыре, то это будут более мелкие и одинаковые — двенадцатые части. Одна четвёртая будет состоять из трёх двенадцатых, а одна третья из четырёх двенадцатых. И вместе это будет — семь двенадцатых.
.
.цитирует10 месяцев назад
при умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.
.
.цитирует10 месяцев назад
Умножение скобки на скобку — это чуть более сложное применение того же правила:

(А + У) × (В + С) = АВ + АС + УВ + УС,

почему так — можно проверить, если мы заменим скобку (А + У) на Х, тогда будет

Х × (В + С) = ХВ + ХС

и если теперь мы поставим вместо Х снова (А + У), то получится:

ХВ + ХС = (А + У) ×В + (А + У) ×С = АВ + УВ + АС + УС

— то есть тоже самое, что в формуле, только в другом порядке, а от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Запишем тоже самое с числами (по правилу умножения скобок):

(2 +3) × (4 +5) = 2×4 +2×5 +3×4 +3×5 = 8 +10 +12 +15 = 45

Или сначала вычислив в скобках:

(2 +3) × (4 +5) = 5 × 9 = 45

В математике часто можно вычислить значение или решить задачу несколькими разными способами. Но если всё делать без ошибок, то ответ будет тем же самым. Главное, чтобы вы были уверены в своём решении и всё делали по правилам.
.
.цитирует10 месяцев назад
Ещё одно применение этого правила — это вынесение за скобки общего множителя. Для примера выше это будет как бы выполнение действий в обратном порядке (от правой стороны выражения мы будем переходить к левой стороне выражения от знака =), например (общие множители подчёркнуты):

25 +35 = 5×5 +5×7 = 5 × (5 +7), или для букв:

А×В + А×С = А × (В + С),

или 5х +5у = 5 × (х + у),

или 5х +6х = (5+6) × х = 11х
.
.цитирует10 месяцев назад
Если число умножают на скобку, в которой складываются два других числа, то получится тоже самое, если мы умножим число на первое число в скобке и сложим это с числом, умноженным на второе число в скобке.

А× (В + С) = А×В + А×С
.
.цитирует10 месяцев назад
Если перед скобками стоит знак — (минус), то мы открываем скобки и у всех чисел меняем знаки на противоположные: был минус — ставится плюс, был плюс — ставится минус.
Пример такой:

Вычисляя: 10 — (8 — 5 +4) = 10 — (+7) = 10 — 7 = 3

Открывая скобки: 10 — 8 +5 — 4 = 3
fb2epub
Перетащите файлы сюда, не более 5 за один раз